二进制数的运算主要包括以下几种类型，这些运算在计算机科学中具有基础性和重要性：
一、基本算术运算
规则与十进制类似，采用“逢二进一”的进位机制。例如：
$$
1011_{2} + 1101_{2} = 11000_{2}
$$
运算过程：从右往左逐位相加，1+1=10（进位1，本位0）。
减法
需注意无符号数要求被减数大于减数。例如：
$$
1001_{2} - 0101_{2} = 0100_{2}
$$
运算过程：从右往左逐位相减，0-1需向高位借1（借一当二）。
乘法
通过左移被乘数并累加实现。例如：
$$
1011_{2} times 1101_{2} = 1001111_{2}
$$
实际操作中，左移被乘数相当于乘以2的幂次，再与原数相加。
除法
采用长除法或移位操作。例如：
$$
10100_{2} div 101_{2} = 10_{2}
$$
需逐位试商并移位。
二、位运算
位运算是计算机中高效处理数据的方式，包括：
按位与（&）： 对应位都为1时结果为1，否则为0。例如： $$ 1100_{2} & 1010_{2} = 1000_{2} $$ 按位或（|）
$$
1100_{2} | 1010_{2} = 1110_{2}
$$
按位异或（^）：对应位不同则结果为1，相同为0。例如：
$$
1100_{2} ^ 1010_{2} = 0110_{2}
$$
按位取反（~）：0变1，1变0。例如：
$$
~1100_{2} = 0011_{2}
$$
移位操作：左移n位相当于乘以2ⁿ，右移n位相当于除以2ⁿ（符号位处理需特殊说明）。
三、转换方法
十进制转二进制：通过不断除以2取余数，逆序排列。例如：
$$
23_{10} = 10111_{2}
$$
二进制转十进制：按位权展开求和。例如：
$$
1101_{2} = 1 times 2^3 + 1 times 2^2 + 0 times 2^1 + 1 times 2^0 = 13_{10}
$$
补码表示：用于有符号数运算，负数通过原码取反加1得到补码。
四、应用场景
二进制运算广泛应用于计算机领域，包括：
硬件设计：逻辑门电路、触发器等基础元件基于二进制逻辑；
数据存储：文件系统、数据库以二进制形式存储数据；
算法实现：排序、搜索等算法需通过二进制运算优化效率。
通过掌握这些运算规则和技巧，可以高效处理计算机中的数据操作。
温馨提示：
