在奥数（奥林匹克数学竞赛）中，虚数单位 $i$ 的定义和应用与普通数学中的一致，主要用于扩展数系以解决无法用实数表示的数学问题。以下是具体说明：
一、基本定义
虚数单位
虚数单位 $i$ 满足 $i^2 = -1$，且 $i$ 与实数可按四则运算规则结合使用。
虚数的形式
虚数表示为 $a + bi$，其中 $a$ 和 $b$ 为实数，且 $b neq 0$。$a$ 称为实部，$bi$ 称为虚部。
二、核心性质
周期性
虚数单位 $i$ 的幂具有周期性：
$$
begin{align*}
i^1 &= i
i^2 &= -1
i^3 &= -i
i^4 &= 1
i^5 &= i
&vdots
end{align*}
$$
每4次幂循环一次。
运算规则
虚数与实数可按普通运算律结合，例如：
$$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$
且 $i$ 乘法需注意 $i^2 = -1$。
三、应用与意义
扩展数系
通过引入 $i$，数系从实数扩展到复数，解决了如负数平方根等无解问题。
复数分析基础
复数是复分析、微分方程等领域的核心工具，广泛应用于工程、物理等领域。
几何意义
复数 $a + bi$ 可对应平面上的点 $（a, b）$，虚部 $b$ 表示纵坐标，实部 $a$ 表示横坐标。
四、示例
计算 $（2 + 3i）（1 - i）$：
$$
begin{align*}
(2 + 3i)(1 - i) &= 2 cdot 1 + 2 cdot (-i) + 3i cdot 1 + 3i cdot (-i)
&= 2 - 2i + 3i - 3i^2
&= 2 + i + 3 quad (text{因为 } i^2 = -1)
&= 5 + i
end{align*}
$$
总结
在奥数中，虚数单位 $i$ 是构建复数体系的基础，通过其周期性和运算规则，帮助解决超越实数范围的数学问题。掌握 $i$ 的性质及复数运算对提升代数和几何思维能力至关重要。
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