数学中的感叹号（!）主要表示 阶乘运算，其定义和性质如下：
一、阶乘的定义
对于非负整数 n，其阶乘（记作 n!）是所有小于或等于 n的正整数的乘积。具体公式为：
$$n! = 1 times 2 times 3 times dots times n$$
示例：
$$5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120$$
$$0! = 1$$（特殊定义）
二、阶乘的递归定义
阶乘可以通过递归方式定义：
$$n! = n times (n-1)!$$
基础情况：
$$0! = 1$$
示例：
$$4! = 4 times 3! = 4 times 6 = 24$$
$$6! = 6 times 5! = 6 times 120 = 720$$
三、阶乘的数学意义
在组合数学中，阶乘用于计算排列数（如从n个不同元素中选k个的排列数）和组合数。
阶乘表示完成n个连续步骤的不同方式总数。
四、注意事项
阶乘仅定义在非负整数上，负数没有阶乘。
0的阶乘被定义为1，这是为了保持数学公式的一致性。
综上，数学中的感叹号主要用于表示阶乘运算，其结果取决于具体的数值，并遵循递归定义和特殊规则。
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