根据搜索结果，初中数学中已知$a + b = 30$，求$ab$的最大值可通过以下两种方法解决：
一、利用基本不等式（推荐）
$a + b geq 2sqrt{ab}$
当且仅当$a = b$时取等号。
$30 geq 2sqrt{ab}$
两边同时除以2得：
$15 geq sqrt{ab}$
两边平方得：
$ab leq 225$
当$a = b = 15$时，$ab$取最大值225。
二、通过函数图像求解
$ab = a（30 - a） = -a^2 + 30a$
这是一个开口向下的二次函数，其顶点即为最大值点。
二次函数$y = -a^2 + 30a$的顶点横坐标为$a = -frac{b}{2a} = frac{30}{2} = 15$。 代入得$ab = 15 times 15 = 225$，此时$a = b = 15$。
总结
两种方法均得出$ab$的最大值为225，当且仅当$a = b = 15$时取到。基本不等式方法更简洁，适合初中阶段应用；函数图像方法则有助于理解二次函数的性质。
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