数字二进制是一种以2为基数的数制系统，是计算机内部数据处理和存储的基础。以下是关于二进制的详细解释：
一、基本定义
符号组成
二进制仅使用两个数字：0和1，分别表示“关闭”和“开启”两种状态，对应计算机电路的通电与断电。
进位规则
当某一位的值达到2时，会向高位进1，本位归零。例如：
- $1 + 1 = 10$（二进制）
- $10 + 1 = 11$（二进制）
二、与十进制的转换
二进制转十进制
采用位权展开法，将二进制每位乘以2的幂次后求和。例如：
- $1101_{2} = 1 times 2^3 + 1 times 2^2 + 0 times 2^1 + 1 times 2^0 = 13_{10}$
十进制转二进制
通过不断除以2并记录余数，将余数倒序排列。例如：
- $13_{10} = 1101_{2}$（计算过程：13 ÷ 2 得余数序列1,1,0,1）
三、应用与优势
计算机内部表示
计算机硬件（如逻辑门、CPU）天然适合二进制，因其仅需处理两种状态。
编码与扩展性
- 二进制可方便地扩展为八进制（每3位二进制对应1位八进制）和十六进制（每4位二进制对应1位十六进制），便于人类阅读和调试。
- 例如：
- $1101_{2} = 13_{10} = 11_{8} = D5_{16}$
四、历史背景
二进制由18世纪德国数学家莱布尼茨提出，因其简洁性和与物理世界的契合度，成为计算机领域的标准数制。
综上，二进制是计算机科学的核心基础，其设计理念体现了“极简主义”，通过0和1的排列组合实现复杂信息的存储与处理。
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