数学中距离的定义和计算方法因应用场景不同而有所差异，主要可分为以下几类：
一、基础几何距离
两点间直线距离，公式为：
$$d = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
可推广到n维向量：
$$d = sqrt{sum_{i=1}^n (x_{2i} - x_{1i})^2}$$
适用于平面和空间距离计算。
曼哈顿距离
两点在标准坐标系下的水平和垂直距离之和，公式为：
$$d = |x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$$
常用于城市街区距离计算。
切比雪夫距离
两点坐标差值的最大值，公式为：
$$d = max(|x_2 - x_1|, |y_2 - y_1|)$$
类似于棋盘格路径的最短移动距离。
二、进阶几何距离
球面距离
两点在球面上的最短路径长度，需将地球等球体展开计算，公式为：
$$d = R cdot arccos(sin theta_1 sin theta_2 + cos theta_1 cos theta_2 cos Delta phi)$$
其中$R$为球半径，$theta_1, theta_2$为两点极角，$Delta phi$为经度差。
三、其他特殊距离
闵可夫斯基距离
欧氏距离的推广，公式为：
$$d = sum_{i=1}^n |x_{2i} - x_{1i}|^p$$
当$p=1$时为曼哈顿距离，$p=2$时为欧氏距离。
赫斯定理（Haversine公式）
计算球面上两点距离的近似公式，常用于地理信息系统：
$$d = 2R cdot arcsinleft(sqrt{sin^2left(frac{Delta phi}{2}right) + cos theta_1 cos theta_2 sin^2left(frac{Delta lambda}{2}right)}right)$$
其中$Delta lambda$为经度差。
四、抽象数学距离
拓扑距离
用于衡量空间中对象的拓扑相似性，例如：
- 编辑距离： 通过插入、删除、替换操作将一个字符串转换为另一个字符串所需的最少操作次数。度量空间距离
满足非负性、对称性和三角不等式的函数，例如：
- 余弦相似度：
用于衡量向量方向相似性，公式为：
$$cos theta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| |mathbf{b}|}$$
适用于高维数据相似性分析。
总结
数学中距离的定义超过10种，涵盖几何、拓扑及抽象代数等领域。具体选择需结合应用场景，例如物理中的直线距离（欧氏）、地图中的城市路径（曼哈顿）或高维数据中的相似性度量（余弦相似度）。
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