如何用方差来算数学期望

方差的定义和数学期望的关系可以通过以下公式和解释来说明：

一、方差的定义

对于离散型随机变量 $X$，其方差 $D（X）$ 定义为：

$$D(X) = frac{1}{n} sum_{i=1}^n (x_i - bar{x})^2$$

其中 $bar{x}$ 是 $X$ 的数学期望，即：

$$bar{x} = E(X) = frac{1}{n} sum_{i=1}^n x_i$$

二、方差的另一种表达式

方差也可以通过以下公式计算：

$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

其中 $E（X^2）$ 是 $X^2$ 的数学期望。

证明过程：

展开平方项 ：

$$D(X) = frac{1}{n} sum_{i=1}^n (x_i - bar{x})^2 = frac{1}{n} sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2x_ibar{x} + bar{x}^2)$$

分离求和：

$$D(X) = frac{1}{n} left( sum_{i=1}^n x_i^2 - 2bar{x} sum_{i=1}^n x_i + sum_{i=1}^n bar{x}^2 right)$$

简化求和

- $sum_{i=1}^n x_i = nbar{x}$，$sum_{i=1}^n bar{x}^2 = nbar{x}^2$：

$$D(X) = frac{1}{n} left( sum_{i=1}^n x_i^2 - 2nbar{x}^2 + nbar{x}^2 right) = frac{1}{n} left( sum_{i=1}^n x_i^2 - nbar{x}^2 right)$$

定义 $E（X^2）$：

$$E(X^2) = frac{1}{n} sum_{i=1}^n x_i^2$$

因此：

$$D(X) = E(X^2) - bar{x}^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$$

三、应用示例

以掷骰子为例：

随机变量 $X$ 取值为 $1, 2, 3, 4, 5, 6$，概率均为 $frac{1}{6}$。

计算 $E（X）$：

$$E(X) = frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = 3.5$$

计算 $E（X^2）$：

$$E(X^2) = frac{1}{6}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2) = frac{1}{6}(91) = 15.1667$$

计算方差：

$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 15.1667 - (3.5)^2 = 15.1667 - 12.25 = 2.9167$$

四、意义与性质

数学期望$E（X）$ 反映数据的平均水平，是预测和决策的依据。

方差$D（X）$ 衡量数据的分散程度，方差越小，数据越集中。

方差公式 $D（X） = E（X^2） - [E（X）]^2$ 展示了随机变量平方的期望与均值的平方差，是概率论中的重要性质。

通过以上公式和推导，可以清晰地看到方差与数学期望的内在联系。