要证明 $tan 2x = frac{2 tan x}{1 - tan^2 x}$，我们可以从三角函数的基本公式出发，结合两角和的正切公式进行推导。以下是详细的证明过程：
一、利用两角和的正切公式
我们知道：
$$
tan(A + B) = frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B}
$$
将 $A = B = x$ 代入公式中，得到：
$$
tan(2x) = tan(x + x) = frac{tan x + tan x}{1 - tan x tan x} = frac{2 tan x}{1 - tan^2 x}
$$
这就得到了 $tan 2x$ 的表达式。
二、另一种推导方法：利用正弦和余弦的二倍角公式
正弦和余弦二倍角公式
$$
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos^2 x - sin^2 x
$$
正切的定义
$$
tan 2x = frac{sin 2x}{cos 2x}
$$
代入二倍角公式
$$
tan 2x = frac{2 sin x cos x}{cos^2 x - sin^2 x}
$$
分子分母同时除以 $cos^2 x$
$$
tan 2x = frac{2 frac{sin x}{cos x}}{1 - left(frac{sin x}{cos x}right)^2} = frac{2 tan x}{1 - tan^2 x}
$$
三、公式验证
我们还可以通过 $tan x = frac{sin x}{cos x}$ 和 $sec x = frac{1}{cos x}$ 进行验证：
$$
tan 2x = frac{sin 2x}{cos 2x} = frac{2 sin x cos x}{cos^2 x - sin^2 x} = frac{2 tan x}{sec^2 x - 1}
$$
由于 $sec^2 x - 1 = tan^2 x$，所以：
$$
tan 2x = frac{2 tan x}{tan^2 x} = frac{2}{tan x} cdot frac{tan x}{1 - tan^2 x} = frac{2 tan x}{1 - tan^2 x}
$$
四、应用说明
该公式在解决三角函数问题时非常有用，例如：
计算特定角度（如 $2x = 45^circ$）的正切值；
简化复杂的三角函数表达式。
通过以上推导，我们可以确认 $tan 2x = frac{2 tan x}{1 - tan^2 x}$ 是正确的。
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