指数分布数学期望是多少

指数分布的数学期望为 $frac{1}{lambda}$，其中 $lambda$ 是分布的参数。以下是详细说明：

一、数学期望的计算

指数分布的概率密度函数为：

$$f(x) = lambda e^{-lambda x}, quad x geq 0$$

数学期望 $E（X）$ 的计算公式为：

$$E(X) = int_{0}^{infty} x cdot f(x) , dx = int_{0}^{infty} x cdot lambda e^{-lambda x} , dx$$

通过分部积分法：

设 $u = x$，$dv = lambda e^{-lambda x} dx$，则 $du = dx$，$v = -e^{-lambda x}$。

计算过程：

$$

begin{aligned}

E(X) &= left[ -x e^{-lambda x} right]_{0}^{infty} + int_{0}^{infty} e^{-lambda x} , dx

&= left[ 0 - 0 right] + left[ -frac{1}{lambda} e^{-lambda x} right]_{0}^{infty}

&= 0 + frac{1}{lambda}

&= frac{1}{lambda}

end{aligned}

$$

二、参数说明

当参数为 $lambda$ 时，数学期望为 $frac{1}{lambda}$；

若参数为 $frac{1}{lambda}$，则数学期望为 $lambda$。

三、相关性质

指数分布具有无记忆性（遗失记忆性），即：

$$P(X > s + t mid X > s) = P(X > t)$$

这一性质在工程和可靠性领域有重要应用。

四、对比其他分布

| 分布类型 | 数学期望 | 方差 |

|----------------|----------|------------|

| 指数分布 | $frac{1}{lambda}$ | $frac{1}{lambda^2}$ |

| 均匀分布 | $frac{a+b}{2}$ | $frac{（b-a）^2}{12}$ |

| 泊松分布 | $p$ | $p$|

| 正态分布 | $mu$ | $sigma^2$ |

综上，指数分布的数学期望为 $frac{1}{lambda}$，这一结论通过积分计算和分部积分法得到验证。