“私人机构”对应的法语翻译主要有以下两种常见表达：
établissement privé
这是更标准的翻译，适用于商业机构、非营利组织等私人性质的组织。
institution privée
也正确，但使用频率略低于前一种表达，更多见于法律文件或正式文本中。
补充说明
在法律语境中，若需强调非营利性，可使用 association privée（如慈善机构）或 organisme privé。
例如：
"Seuls des établissements privés peuvent consentir des prêts bancaires."（只有私人机构可以提供贷款）
"Cette association privée travaille pour l'environnement."（这个非营利性私人机构致力于环境保护）
建议根据具体语境选择表达，日常交流中 établissement privé更为通用。
温馨提示：
